1、如果y是奇数，左边可以分解为y+2i和y-2i的乘积，我们要证明y+2i和y-2i互素。
2、于是，y+2i必定是某个Gauss整数（设为a+bi）的三次方。
我们要证明，b=-2。
3、根据b=-2，可以找出两组解。
这是y是奇数的时候，仅有的两组解。
4、当y是偶数，那么z也是偶数。设x=2p，y=2q，那么：
4p^2+4=8q^3
p^2+1=2q^3
所以p必定是奇数。
两边在Gauss整数环内部分解因式：
5、假设p+i和p-i的最大公因数是r，那么r可能等于1，1-i，2。
如果r=1，那么，p+i和p-i互素，此时，2只能整除p+i和p-i其中的某一个，这是矛盾的；
r也不可能等于2；
所以，r=1-i。
于是，有下面的分析：
6、分别比较实部和虚部，得到下面两个等式。
7、根据第二个等式，可以找出满足要求的a和b。
