1、 函数为幂函数的四则运算，可知函数的自变量可以取全体实数，即定义域可以为：(-∞，+∞)。
2、函数的单调性，通过函数的一阶导数，判断函数的单调性。
∵ y= 4 x5 + x + 4
∴ y'= 20 x4 + 1
又∵ x4 ≥ 0
∴ y' > 0
即函数y在定义域范围内为单调增函数。
3、举例求解点A（0,4）处的切线，主要步骤如下：
此时y'=1，由直线的点斜式可求出点A处的切线方程为：
y-4=x.
4、通过函数的二阶导数，得函数的拐点，再根据二阶导数的符号，判断函数的凸凹性，进而解析函数的凸凹区间。
∵ y'= 20 x4 + 1
∴ y＂= 80 x3 令y＂=0，则x=0。
则：
（1）当 x ≥ 0 时， 函数y为凹函数；
（2）当 x ＜ 0 时， 函数y为凸函数；
5、由函数性质，解析函数的极限，判断函数在无穷大处的极限。
6、函数五点图，函数部分点解析表如下：
7、 根据函数的定义域、值域、极限等性质，并通过函数的导数判断函数的单调性、凸凹性，综合解析函数的示意图如下：
